Emergencia del Orden desde el Caos (II) Modelos Mariposa y Fractales

 

Hola amigos.

En esta segunda parte de la serie, nos dedicaremos a distinguir entre Modelos Mariposa y las formas Fractales, debido a que ambas categorías suelen ser subsumidas como si fueran lo mismo en las Teorías del Caos. Asimismo, incorporamos un par de vídeos breves que espero logren clarificar la diferencia entre las formas fractales observadas en la naturaleza y los programas computarizados de logaritmos recursivos que reiteran formas geométricas al infinito.

Pensamos que mucha de la confusión puede haber estado originada en que tanto los modelos mariposa como las formas fractales comenzaron a ser ampliamente difundidos y publicados para el público en general dentro del novedoso campo de las Geometrías de la Complejidad, sin haber atendido previamente los caminos rigurosos de validación, publicación y difusión inicial en el ámbito científico, y solo con posterioridad entre el público no especializado.

Si bien las investigaciones para desarrollar las Geometrías de la Complejidad y profundizar el conocimiento sobre trayectorias impredecibles observadas en el Universo, tales como algunas órbitas planetarias, las corrientes de olas marinas, o la dirección del viento, en principio fueron impulsadas por la carrera espacial a partir de la década de 1950, entendemos que las denominadas “Teorías del Caos” fueron presentadas formalmente en sociedad con la publicación del texto de Li y Yorke de 1975, que popularizó su título antes que el contenido.

En ese mismo año de 1975, el matemático Benoit Mandelbrot, publicó su atractivo texto ilustrado de difusión general Los objetos fractales, donde confunde ciertas regularidades observables en la Naturaleza de carácter autolimitado, con cálculos computarizados  para describirlas que se disparan al infinito.

Por esto, creemos necesario continuar esta segunda parte de serie aclarando que, dentro de las Geometrías Complejas desarrolladas en los últimos años, distinguimos en principio y del modo más elemental, entre los Modelos Mariposa y las formas Fractales.

 

Vuela Mariposa, vuela

Los modelos que presentan un aspecto visual que nos recuerda una mariposa, desarrollados desde la década de 1960, se pueden clasificar en estables e inestables.

Reiteramos que el primer modelo mariposa inestable fue publicado en 1963 por Lorenz, y luego Mandelbrot escribió un breve artículo en 1967 sobre la necesidad de medir la costa de Gran Bretaña tomando en cuenta la unidad de medida más pequeña. Vale asimismo reiterar que tuvo que pasar una década para que se desarrollaran tanto los principios del modelo geométrico estable cuya trayectoria se regula a sí misma, como las funciones logarítmicas de carácter recursivo que reiteran al infinito las bellas formas del Conjunto de Julia (Lorenz, 1963; Mandelbrot,1967)

Hubo que esperar entonces a la publicación en 1975 del contenido del artículo escrito por Tien Yien Li en marzo de 1973, en el que desarrolla los postulados que caracterizan claramente la estructura estable de los denominados y debatidos hasta allí Modelos Mariposa. Solo a partir de la publicación de este trabajo formidable, pudieron ser reconocidos los modelos que presentan cuencas de atracción de estructura estable, fundamentados geométricamente por Smale desde 1960. El atractor de fuerzas evoluciona organizando los elementos de forma tal que confieren estabilidad a trayectorias planetarias que resultan auto-limitadas por su propia estructura de fuerzas. (Li y Yorke, 1975; Guckenheimer y Williams, 1979; una reseña del contexto del histórico problema resuelto por Li fue publicada en el blog)

Aclaramos entonces, que la Mariposa de Lorenz no constituye entonces un Atractor en el sentido propuesto por el artículo de 1975. Si bien el término remite a una forma visual que Lorenz (y la mass-media) hicieron mundialmente conocida, los científicos especializados, luego de un largo debate, llegaron a la conclusión que la problemática inestabilidad de la Mariposa de Lorenz (cuya trayectoria logarítmica se dispara al infinito) deriva del hecho que en realidad el modelo fue presentado como un atractor cuando carece de atractor de fuerzas, razón por la cual los especialistas proponen denominar al modelo de otra manera. (Ruelle, 1971, 1981 y 2006)

Reitero, para desencanto de muchos, que la “imagen mágica” en forma de mariposa y geometría estable publicada como tal por el periodista James Gleick en el texto (sin rigor histórico) para difusión general que popularizó entre la gente las teorías del caos, y presentó la mariposa de Lorenz como la forma visual de cuya estructura emerge el orden, en realidad no salió jamás de la computadora de Lorenz, como mucha gente fue inducida confusamente a creer (Gleik, 1987)

 

Los Fractales de Mandelbrot

En ese mismo año de 1975, el programador de IBM y discípulo de John von Neumann, Benoit Mandelbrot, presentó su primer libro sobre las Formas Fractales.

En principio, llama la atención que Mandelbrot una y otra vez se negase abiertamente a ofrecer una definición y menos una necesaria clasificación de los fractales en ninguna de las ediciones revisadas de sus libros (Mandelbrot, 1975 y 1977)

En vista de esa negativa, creemos necesario presentar una distinción básica entre los Fractales Naturales, cuyo carácter autolimitado podemos observar en mundo que nos rodea, y los Fractales Virtuales, realizados mediante computadoras, cuya principal característica consiste en su reproducción infinita.

Si no nos parecen lo mismo es porque definitivamente no lo son.

                                              

De modo similar, si queremos familiarizarnos y comenzar a comprender los principios de Jerarquía que guían la orientación de las fuerzas naturales, proponemos realizar el ejercicio cotidiano de observar el entorno hasta descubrir patrones generales en las formas que nos rodean y de las cuales emergen con posterioridad las formas más pequeñas, en lugar de partir directamente de las fracciones más pequeñas de la naturaleza como propone Mandelbrot.

Tanto los Modelos de Atractor como las Formas Fractales admiten ser abordadas como Geometrías no-euclidianas y de reciente desarrollo, que requieren para su resolución del desarrollo de programas computacionales adecuados a tal fin.

Al igual que Ruelle recomendó en 2006 la creación de un nuevo término para el confuso “atractor de Lorenz sin atractor”, creemos que estaría bueno pensar en una nueva denominación para los patrones naturales que hallamos en la naturaleza, por cuanto expresan continuidad y jerarquía lógica de patrones formales antes que fracturas a repetición, como insistió Mandelbrot.

Sin embargo, la enorme difusión mediática de la fueron objeto tanto el atractor de Lorenz como las formas fractales, obstaculiza en gran medida la generación de nuevos términos.

Solo nos resta perder el temor de cuestionar propuestas difundidas mediáticamente cuando nos parecen absurdas, confusas, o difíciles de entender.

 

Porque si acaso la mariposa de Lorenz o los fractales, tal como vienen siendo difundidos por algunos teóricos sociales, nos acercan a una mejor comprensión de cómo puede emerger el orden cuando es producido por los empresarios del caos, todavía está por verse.

 

Bibliografía:

GLEICK, James (1987) Chaos. Making a New Science. Edición digital: lectulandia.com

MANDELBROT, Benoit (1975) Los Objetos Fractales. Forma, Azar y Dimensión. Barcelona: Tusquets Editores SA

MANDELBROT, Benoit (1977) La Geometría Fractal de la Naturaleza. Barcelona: Tusquets Editores SA

RUELLE, David & Floris TAKENS (1971) “On the nature of turbulence” Comunications in Mathematical Physis 20:167-192. 

RUELLE, David (1981) “Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors” Comunications in Mathematical Physis 82: 137-151

RUELLE, David (2006) “¿Qué es un atractor extraño?” Notices of the AMS 53(7):764-765

SMALE, Stephen (1961) “Generalized Poincare's Conjecture in Dimensions Greater Than Four” The Annals of Mathematics 74 (2): 391-406 (articulo recibido el 11 de oct. de 1960)

SMALE, Stephen (1962) “A survey of some recent results in differential topology” Bull. AMS 1962 pp.131-145

SMALE, Stephen (1967) “Sistemas dinámicos diferenciales” Bull. AMS 73: 747-817

SMALE, Stephen (1968) “The Omega stability theorem” Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIV, pp. 289–297.  Berkeley: Amer. Math. Soc.,

 

Consultar también otras entradas de este blog:

“Fractales Virtuales y Fractales Naturales: una distinción necesaria”

Publicada el 1 de octubre de 2020 en el siguiente sitio:

https://vivinasalvettihoy.blogspot.com/2020/10/fractales-de-calculo-y-fractales-de-la.html

 

“Biografía de Tien Yien Li (por el profesor Jiu Ding)”

Publicada el 9 de agosto de 2020. Disponible en el siguiente sitio: https://vivinasalvettihoy.blogspot.com/2020/08/biografia-de-tien-yien-li-por-el.html

 

Hasta la próxima, amigos!!!